La falacia en la paradoja del diablo

Recordemos la paradoja presentada en la entrada anterior, a la que me remito para los detalles:

1. Estás en el infierno para siempre.
2. El diablo te da la opción de elegir un día (y solo uno) para entrar en una lotería cuya ganancia es ir al cielo para siempre.
3. Las condiciones: si eliges hoy, la probabilidad de ir al cielo es 1/2; si eliges mañana es 2/3; si pasado mañana, 3/4; al día siguiente, 4/5, y así sucesivamente.
4. La paradoja: siempre merece la pena esperar un día más, pues se cambia un día en el infierno por aumentar la probabilidad de estar toda la eternidad en el cielo.

Y ahora, con ustedes, la resolución de la paradoja.

La cuestión principal es que la paradoja asume una suma infinita de felicidad. Cada día en el cielo nos da una felicidad, y una suma infinita de días nos da una suma infinita de felicidad. Multiplicada por un incremento de probabilidad por pequeño que sea nos da un incremento de felicidad infinito si esperamos un día más, puesto que el coste es una infelicidad finita de estar un día más en el infierno.

El problema es que no existe tal cosa como una suma infinita. Si el nivel de felicidad por pasar un día en el cielo es, digamos, F (en la escala apropiada), estar toda la eternidad en el cielo no implica tener una felicidad de

F+ F + F + F +…,

entre otras cosas porque tal operación no existe. La suma se define como una operación binaria (entre dos elementos) que, por satisfacer ciertas propiedades (conmutativa, asociativa), se puede extender a la suma de finitos elementos, pero no a la suma de infinitos. Cuando se cumplen ciertas condiciones sí se puede hablar de sumas infinitas, pero para ello la serie sumas parciales tiene que converger. Así, se puede hablar de la suma de

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…,

cuyo resultado es 1. Y se puede hacer porque dando como resultado el límite de las sumas parciales se mantienen las misma propiedades de las sumas finitas (operación cerrada, elemento neutro, elemento simétrico, conmutativa, asociativa,…). Para series no convergentes tal cosa no es posible.

Es decir, que el enunciado de la paradoja nos está metiendo un gol al hacer parte de su argumentario una suma infinita carente de significado. No es que diga algo falso cuando dice eso, sino que dice un sinsentido. Lo falso es concluir algo de un sinsentido y esa es la falacia. Cosas parecidas nos encontramos en la paradoja de la lámpara de Thompson.

La cuestión siguiente será: ¿qué es lo que hay que hacer, entonces? Esperen ustedes unos días más en el infierno de la ignorancia y en la próxima entrada contestaré a la pregunta y les llevaré a la felicidad de la sabiduría por siempre jamás.

En una próxima entrada diré cómo afrontar esta oferta del diablo.

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Hace tres años en el blog: France Télécome, ¿tenemos un problema?
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